【世界基数】
定义：一个基数k是worldlycardal，如果Vk=ZFc.
我并不知道这个基数是谁提出的，这里只是做出一些解释。用wc表示workdlycardal。
命题1:ZFc+3wch(ZFc+(ZFc)).
由Godel不完备性，ZFc+(ZFc）不能证明3wc．同样(ZFc+3wc)也不是ZFc+(ZFc）能证明的。
我们用I表示不可达基数。显然每一
个不可达基数都是wc，因此：
命题2:ZFc+3I3wc.
但是最小的wc严格小于最小的l。命题3：如果k是不可达的，则存在世界基数入＆ap;ap;It;k。
证明：假定k不可达，有Skole定理（及其构造方法），存在可数模型o＜Vk以及n0ap;lt;k使得0EVn0。一般地，对于任意i,i＜Vk以及ni
ap;lt;k使得iEVni，存在模型i+1EVni+1使得i+1＜Vk并且Vnii+1。
令入＝Ui
ap;lt;k。显然Vi(i＜i+1)。因而有模型论基本知识，Uii＜Vk。有构造，我们知道V入＝Uii。因此V入＜Vk从而是ZFc的模型。因而入是wc
由命题3，我们有以下推论：
推论3.1:ZFc+3II(ZFc+3w
c).
因此wc的协调性强度是严格弱于不可达基数的。由命题3的证明，我们可以推断最小的世界基数具有共尾性w。
还有人提及以下定义：
定义2：一个序数a是可扩的，如果存在p
ap;gt;a使得Va＜Vb。
我们用Ec表示可扩基数。显然命题
3中的入就是可扩的。并且可以构造在k下另外一个入'ap;gt；入使得V入＜V入'＜Vk.@ZS在评论里提到了Joelhaks给了关于可扩基数的比较完整的描述（theotherwordlycardals)。其中
定理1(haks):EcSwc，并且每一个Ec
注意虽然不可达基数的强度要严格高于存在Ec的协调性，但是IEc．例如最小的不可达基数不属于Ec。
【ZFc公理宇宙】
1．不可达基数
可数，不可数，后继，极限，正则，奇异。
不可达基数就是指不可数正规的强极限基数，如果是不可数正规的极限基数，则称之为弱不可达基数。可数就是指小于等于阿列夫零的基数。反之不可数就是指大于阿列夫零的基数。后继，就是指比它小的基数中有最大值，极限就是指比它小的基数中没有最大值，强极限就是比它小的任意基数中，2的次方均小于它。正规就是到达它的最短长度等于本身，也就是若k是正则基数，则不存在小于k个小于k的集组之并的基数为k，或者说不存在小于k个严格递增的序列，其极限为k。奇异就是到达它的最短长度小于本身。对于基数k，存在小于k的严格递增的序列的极限为k,则k为奇异基数。正规和奇异基数引入了共尾度的概念，共尾度就是到达它的最短长度。后继序数的共尾度是1。正则基数就是cf(k)=k，奇异基数就是cf(k)ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;lt;k.
不可达基数k就是对任意小于k的基数，取幂集的基数仍然小于k并且由任意小于k个小于k的集组之并的基数仍然小于k。而对比弱不可达基数只要满足＆ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;lt;k的任意基数的后继仍然＆ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;It;k就行。而具有以上相同性质的可数基数就是阿列夫零。
举个例子：cf(1)=1,cf（任意有限数）=1,cf(w)=w,cf(w_1)=w_1（不存在长度是w的序列，因为小于w_1的基数是可数的，但可数个可数集之并（也就是它们的上确界）可数，不可能是w_1)。cf(w_w)=w（长度w的序列取w,w_1,w_
2,w3,......)。
对于极限序数，有cf(a)=cf(w_a),所以对于不可达基数k,k=w_k，但是，这样的奇异不动点非常多。比如说a是任意的基数，然后设序数列w_a,w_(w_a),.....．设k是它们的确界，很显然容易证明k=w_k，但是很遗憾，这基数仍然还是奇异基数，并且它的共尾度是w。
好了。以下基数的性质。
0，可数，正规，强极限。1，可数，正规，后继。2，可数，非正规，后继。w，可数，正规，强极限。w_
1，不可数，正规，后继。w_2，不可数，正规，后继。w_w，不可数，非正规，极限。w_(w+1)，不可数，正规，后继。w_(w_1)，不可数，非正规，极限。阿列夫不动点，不可数，非正规，极限。
很显然，用替代公理模式获取的基数，三个条件都不能同时满足，所以都不是不可达基数。不过，在大于w的基数中，正规极限的基数则就是不可达基数。也可以说，从阿列夫零到不可达基数其概念意义上的距离，跟从0到阿列夫零是一样的。
有了替代公理模式，你可以构造类似oga-fixed-pot={xEwlf(0)=w,f(x)=w_f(x-1)｝的集合，通过更大的f就能获取更大的基数。但是，很显然，由替代公理所迭代获取出来的基数，全部都是奇异基数，其xE的那个数就是它的共尾度或者是共尾度比这个数还小，哪怕再大，均不符合cf(k)=k的条件。因此不可能抵达不可达基数。
不可达基数本身也是阿列夫数，同时也都是不可达的阿列夫不动点，贝斯不动点，极限基数（因为对于后继基数阿列夫（a+1)ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;lt;=2^阿列夫a，不符合强极限的定义）。同时不存在一个（xE(ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;lt;k)lf(x)ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;lt;k)的集合，使得其上确界为k。
还可以更抽象的理解不可达基数，假如连续统假设成立。则2^阿列夫零＝阿列夫一，2^阿列夫一＝阿列夫二．.....你可以这样迭代下去，你能得到阿列夫（阿列夫（阿列夫一）)，阿列夫（阿列夫（阿列夫（阿列夫．.....)))，你所想象到的迭代，无论是多么的变态，你都不可能迭代出不可达基数。因为不可达基数是正则基数，不可能从下至上抵达它。举个例子，有限的数，它们经过任意有限次迭代，都不可能到达无穷大，只能用∞这个符号表示，同样，∞（指小基数）,哪怕它们经过任意8次迭代，也不可能到达不可达基数。
你取到k之后，那么k和2^k都是正则的大基数，继续对k替代公理模式以及对k取幂集，仍然不可达的就是第二个不可达基数。
2．马洛基数
一个无穷基数k是马洛基数（ahlocardal）当且仅当k是一个不可达基数并且是“正则基数”。
{A
ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;lt;kl入是正则基数｝是k上的平稳集［1]。如果k是马洛基数，则是“不可达基数”。
{1ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;lt;kl入是不可达基数｝是k上的平稳集，因此k是第k个不可达基数。
为了得到以上结论，我们来证明如果K是任何不可达基数，则是“强极限基数”
c:={\\ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;lt;k入是强极限基数｝是k上的无界闭集。先来证明闭性：
假设基数入＆ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;It;k是c的极限点，即入＝sup(入），则对任何μap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;It；入有强极限基数yE入使得μap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;lt;y，从而2μap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;lt;y
ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;lt;入，从而入是一个强极限基数，故入Ec,从而c是闭的。
无界性：任取序数a
ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;lt;k，因为k的强极限性质，可以做以下基数序列（yn
ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;lt;klnEw):
a
ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;lt:y0,y1=2y0,...,yn+1=2yn,...
并取y=supnEwyn，因为k
ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;gt;w是正则的，所以y
ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;lt;k而且显然a
ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;lt;y。可以证明v是强极限的：任取μap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;lt;y，则按照定义存在nEw使得μap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;lt;yn，从而2μs2yn=yn+1ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;lt;y，于是yEc。这样c就是无界的。
现假设k是马洛基数，则是不可达基数，而且是正则的。
x:={\\ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;lt;k入是正则的｝是k上的平稳集。按照定义，xNc也将是k上的平稳集，而为“不可达基数”。
xNc={\\ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;lt;kl入为不可达基数｝。因为k上的平稳集总是在k中无界，故xNc的基数也将是k，也即k是第k个不可达基数。
为了进一步考察马洛基数，我们再来证明以下两个命题：
命题1：如果是第一个不可达基数
K=（入入是第入个不可达基数｝，则k不是马洛基数。
命题2:如果k是马洛基数，则集合第入个不可达基数是｛入＆ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;lt;kl入是第入个不可达基数｝在k中无界。
先证明命题1：按照定义，任何小于k的不可达基数y都是第a
ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;lt;y个不可达基数。现在定义是不可达基数：
x:={y
ap;ap;ap;ap;a
p;ap;ap;ap;ap;ap;ap;lt;kly是不可达基数｝上的函数f:x→→k使得f(y)=a，其中a
ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;lt;y，且y是第a个不可达基数。从而f是x上的退缩函数。如果k是马洛基数，按照上一个证明，x将成为k上的平稳集。按照福道尔定理，将存在一个k上的平稳集Scx和某个b使得任何yES有f(y)=b，即任何yES是第b个不可达基数。但我们知道第b个不可达基数只有一个，这与S是平稳集矛盾。
命题2:假设是第入个不可达基数：
t:={\\ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;lt;k入是第入个不可达基数｝在k中有界，即supt
ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;lt;k。令a=supt，则集合c={b
ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;lt;k|βap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;gt;a｝是k上的无界闭集。因为k是马洛基数，所以
是不可达基数。
x={\\ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;lt;k入是不可达基数｝是k上的平稳集，按定义xNc也是k上的平稳集。而xNc是k中所有大于a的不可达基数的集合。而且每个不可达基数yExNc,y不可能是第v个不可达基数，从而v只可能是第E
ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;lt;y个不可达基数。重复命题1的证明，在平稳集xNc上建立一个退缩函数，利用福道尔定理便可引出矛盾。
3不可描述基数
不可描述基数是对V的不可描述性（表现为反射原理）的深入刻画，即将V具有的不可描述性移植到作为集合的Vk上。对于作为大全的V我们不是很方便谈论，但Vk可以。称k（实际也是VK）是∑n﹣可描述的，在于存在一则∑n﹣命题中，使得p仅在Vk中为真，即不存在a
ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;lt;k，使得中也会在Va中为真。换言之，满足中这一描述的仅为Vk，中是Vk独有的描述，故构成对Vk的本质描述。反之，称k是∑n﹣不可描述的，在于对任意∑n﹣命题中，Vk满足中就意味着存在a
ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;lt;k,Va也满足中，所以仅仅是满足申并不意味着是在描述Vk。而\"k是∑n﹣不可描述的\"或\"K是Nn﹣不可描述的\"是则∑n+1﹣命题或Nn+1﹣命题，你的想法是对的，只是\"k是一阶不可描述\"这点需要用二阶语句来描述，这样的二阶命题我们可以写出来，但一阶不行，并且如果存在这样的一阶命题，那么就如你所想的那样必然导致矛盾，这就意味着该语言是内在不一致的。所以，\"任意命题都无法描述\"不会是一个自洽的语言可以写出来的句子。
4．弱紧致基数
对于一阶逻辑语言的扩张L入u，即对任意a
ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;lt；入，允许语句的a次合取^E
ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;lt;apa和或取VE
ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;lt;aゆa仍作为一个语句；以及对任意b
ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;lt:u,允许语句中出现b次存在量词＆ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;lt;bxE和全称量词VE
ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;lt;bxE；若Lkk的字母表仅含有k个非逻辑符号，并且Lkk的子集（语句集）t存在模型（一致）当且仅当t的每个基数＆ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;lt;k的子集∑都存在模型（一致），则称k是弱紧致基数。
对于不可数的弱紧致基数k可以证明：
k是正则基数
假设k是奇异基数，取k的无界子集x有|x|ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;lt;k，在字母表中添加常元符号（ca:a
ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;It;k}U{c}
定义语句集t={c≠ca:a
ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;lt;k}U{VAExVa
ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;lt;Ac=ca}
其中V入ExVa
ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;lt；入c=ca是由x|个形如Va
ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;It；入c=ca的语句或取而成的，由于|x|ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;lt;K，这是一个合法语句但却遍历了每个ca，或取命题的成立只需要其中一项为真即可，对于t基数＆ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;lt;k的含该语句的子集∑，其中都只会含有个c≠ca，由x在k中无界，必然存在国＆ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;lt;y,Va
ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;lt;yc=ca就可为真与其余语句一致，但必与t的其余语句矛盾。
2.k是极限基数
假设k是后继基数，则存在入＆ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;lt;k，使得2入≥K。
在字母表中添加常元符号｛ca:a
ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;lt；入｝U{da0:aap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;t;?}U{da1:aap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;lt;)}
并定义语句集
t={^d
ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;It；入[(ca=da0Vca=da0)Ada0≠da1]}U{pf:fE21}
其中∧a
ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;lt;x[(ca=da0Vca=da0)Ada0≠da1］可以直观理解为定义了一个2入中的01序列f*，中f则是使用f定义的形如Va
ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;It;\\ca*daf(a）的语句，其为真就意味着必有一项ca不同于f在a处的得值，即f*≠f。显然，t是不一致的。但对于t的基数＆ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;lt;k的子集∑，由于区＆ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;lt;k
ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;It;ItI，从而总能存在gE2入但中g≠∑,令f*=g即可满足
3.k是巨大马洛基数
已知k是不可达基数，故|Vkl=k，对任一UcVk，扩充语言Lkku，其中含有谓词符号u(x）被解释为U，再在其字母表中添加常元符号c，定义语句集t={pELKKu:(VK,E,U)=ф}U{фa(x)Ax
ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;lt;c:o
ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;lt;k}，其中中a(x）是对序数a的定义，即对任意a
ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;lt;k均有（Vk,E)=ゆa(a)。由于t基数＆ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;lt;k的子集∑都以（Vk,E,U）为模型，故t也存在模型（,E,U*)。由于（Vk,E)=-3n
ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;lt;wxn(xn+1Exn),E是上的良基关系，由坍塌定理可得（,E,U*）又由于Vk的每个元素均可定义，{oELkku:(Vk,E,U)=o｝作为一个完备理论被（,E,U*）满足，就存在（Vk,E,U）到（,E,U*)的初等嵌入使得（VK,E,U）是（,E,U*）的初等子模型。
设U为无界闭集，由于UcU*，根据定义sup(UNk)=K可得KEU*，而（,E,U*)=u(k）蕴含（,E,U*)=3xф(x)лu(x)(Vk,e,U)=3xф(x)лu(x)，其中中（x）为一可由某一（,E,U*)见证的k所具有的性质。
4.k是门11﹣不可描述基数
由3．可知对任﹣UcVk，均存在初等嵌入使得（Vk,E,U）是（,E,U*)的初等子模型，扩充语言Lkku中的语句等价于以U为参数的语句，而Vk上的N11语句等价于Vk+1上的N10语句，形如VxEVK+1p(x)Vk，其中p(x)Vk是量词辖域为Vk的一阶语句，其成立取决于Vk和U中是否存在这样或那样的元素，由于Vk,Vk=Vk,,p(x)VK(,E,U*)=o(x)Vk。又由于Vk+
1cVk+1，假设VxEVk+1p(x)Vk但(,E,U*)=-VxEVk+1p(x)Vk即（,E,U*)=3xEVk+1-p(x)Vk就与假设矛盾。故对于Vk上的N11语句中中，并且若（Vk,E,U)＝中则（,E,U*）满足存在a,(Va,E,VaNU*)=中，(Vk,E,U）就也满足存在a,(Va,E,VaNU*)=ф.
5．可测基数
问题：一个不可数基数k是可测基数（asurablecardal）当且仅当k上存在k﹣完全的非主超滤。证明任何可测基数都是不可达基数（aessiblecardal)，即，都是正则且强极限的。
首先证明正则性。若k是奇异的，即cf(k)ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;lt;k。则可以取一个k的递增的共尾序列（ay
ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;lt;kly
ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;lt;cf(k))，使
supy
ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;lt;cf(k)ay=Uy
ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;lt;cf(k)ay=K
取k上的一个k﹣完全的非主超滤U，则U是均匀超滤，从而每个ayEU,即k-ayEU，于是：
Udny
ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;lt;cf(k)(k-ay)=k-Uy
ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;lt;cf(k)ay=0
这与U的滤子的定义产生了矛盾。再来证明强极限。也即证明任何入＆ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;lt;k，有2入＆ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;lt;k。现用反证法，反设存在某个入＆ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;lt;k使得2入zk。那么可以取2入＝{flf：入→＞2｝的一个子集S使得|SI=K。并且按题意可以取S上的一个k﹣完全的非主超滤U。现在对于每个a
ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;lt;入，如果oa:={fES|f(a)=0}EU，则令xa=oa,ca=0；否则，我们有:={fESf(a)=1}EU，这时我们令xa=，且sa=1。现在，我们定义了U上的一个长度为入的序列＜xaEU
ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;lt；入＞，因为U是k﹣完全的，所以Na
ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;lt;\\xaEU，但是，我们可以证明na
ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;lt；入xa中最多只有一个元素，因为任何fENa
ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;lt;)xa，都有f(a)=ea,Va
ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;lt；入。这样na
ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;It；入xa∈U，这就引出了一对矛盾。
后话：看到有人不太理解强极限的证明。其实我们的目的很简单，就是希望对每个a
ap;ap;ap;ap;ap;ap;ap;lt；入，定义一个集合xaEU，和一个数eaE{0,1}。而它们的值究竟什么，则取于｛fES|f(a)=0｝和｛f∈s|f(a)=1｝哪一个属于U，如果前者属于U，则定义xa={fES|f(a)=0}，且ea=0；如果后者属于U，则定义xa={fESf(a)=1}，且sa=1。因为U是超滤，可知这种定义是合理的。
强紧致基数
当且仅当每个k﹣完全滤波器都可以扩展为k﹣完全超滤器时，基数k是强紧凑的。
强紧基数最初是根据无限逻辑定义的，其中允许逻辑运算符采用无限多的操作数。常规基数k的逻辑是通过要求每个运算符的操作数量小于k来定义的；那么k是强紧致的，如果它的逻辑满足有限逻辑紧致性的模拟。具体来说，从其他一些陈述集合中得出的陈述也应该从基数小于k的某个子集合中得出。
强紧性意味着可测性，并被超紧性所暗示。鉴于相关基数存在，与ZFc一致的是第一个可测基数是强紧基数，或者第一个强紧基数是超紧基数；然而，这些不可能都是真的。强紧基数的可测极限是强紧的，但至少这样的极限不是超紧的。
强紧性的一致性强度严格高于伍丁基数。一些集合论学家推测强紧基数的存在与超紧基数的存在是等一致的。然而，在开发出超紧基数的规范内模型理论之前，不太可能提供证明。
可扩展性是强紧凑性的二阶类比。
强可展开基数
形式上，基数k是入不可折叠的，当且仅当对于ZFc负幂集的每个基数k的传递模型，使得k在中并且包含其所有长度小于k的序列，有一个将的非平凡初等嵌入j到传递模型中，其中j的临一个基数是可展开的当且仅当它对于所有序数入都是入可展开的。
基数K是强入不可折叠的，当且仅当对于ZFc负幂集的每个基数k的传递模型使得K在中并且包含其所有长度小于k的序列，有一个非﹣将的j简单基本嵌入到传递模型\"N\"中，其中j的临界点为k,j(k)≥入，并且V（入）是N的子集。不失一般性，我们也可以要求N包含其所有长度为入的序列。