通常的AdS\/cFt模型中，场论需要取大N极限。
考虑cFt中的一个sirace算符，它的k点函数满足o(N2?k)o(N^{2-k})，因此取大N极限的话只有两点函数不为0。同时如果要想让sirace算符具有合理的大N极限，我们可以定义一个减除过后的sirace算符
w=trw??trw?\\athcal{w}=trw-\\rw\\rangle
此时因为在大N极限下只有两点函数会出现，因此算符构成了一个自由场论。
考虑所有互相之间具有非零的对易子的算符，可以组成代数AL,0,AR,0\\athcal{A}_{L,0},\\athcal{A}_{R,0},它是定义在边界上的.根据对偶关系，有
AL,0=Al,0.AR,0=Ar,0\\athcal{A}_{L,0}=\\athcal{A}_{l,0}.\\athcal{A}_{R,0}=A_{r,0}
因此边界上的sirace算符组成的代数等价于bulk中黑洞视界外的场论组成的代数。
那么这个代数属于哪种冯诺依曼代数呢？
通常对于一个热场二重态
|tFd?=∑ie?βEi\/2|Ei?L|Ei?R|tFd\\rangle=\\su_{i}e^{-\\betaE_{i}\/2}|E_{i}\\rangle_{L}|E_{i}\\rangle_{R}
它可以全息的描述一个永恒黑洞，不过此时需要注意的是，形成这个tFd的参数β\\beta描述的是左侧或者右侧黑洞的温度，而在AdS时空中，存在霍金佩奇相变，因此温度需要大于hawkg-page温度这个描述才是成立的。
t＞tpaget＞t_{page}
而在page温度以下，时空处于AdS真空态。对于真空态，大N极限可以良好的定义，因此通常可以认为代数在大N下满足von-NeuannI∞I_{\\fty}，而当温度大于page温度之后，其大N极限不能被良好的定义，表现在能量，熵等都会发散。（实际上这个大N极限的定义问题，对于理解高维的引力enseble对偶具有重要意义）表现在代数上，意味着此时在大N极限下，von-Neuann代数会变成typeIII1\\athr{III_{1}}的.同时tFd态的希尔伯特空间不再左右可分，上面关于tFd态的写法不再成立。这一点可以通过全息也能看出，根据全息，我们可以在黑洞背景下构造hilbert空间，此时这个希尔伯特空间就是弯曲时空下量子场的希尔伯特空间，因此它必然是typeIII\\athr{III}型的代数。
以上在取大N极限之后，演生出了一个typeIII1\\athr{III_{1}}的von-Neuann代数。可以考虑是否可以将这个代数加入一些其他的元素，使其扩充为一个更大的代数。一个自然的想法是加入边界的哈密顿量，考虑减除后的哈密顿量
hR′=hR??hR?h_{R}'=h_{R}-\\ngleh_{R}\\rangle
因为?hR′2?～N2\\ngleh_{R}'^{2}\\rangle\\siN^{2},这个哈密顿量依然没有大N极限。为了定义它在大N极限下表现良好，可以定义
U=1NhR′U=\\frac{1}{N}h_{R}',在大N下U不为0也不发散，因此具有良好的大N极限。而对于V∈AR,0\\athcal{V}\\\\athcal{A}_{R,0},有如下关系
[U,V]=1N[hR,V]=?iN?V?t[U,\\athcal{V}]=\\frac{1}{N}[h_{R},\\athcal{V}]=-\\frac{i}{N}\\frac{\\partial\\athcal{V}}{\\partialt}
取N→∞N\\to\\fty,我们发现[U,V]→0[U,\\athcal{V}]\\to0,因此U是AR,0\\athcal{A}_{R,0}这个代数的ter。并且因为U和其他算符都对易，不满足AR,0\\athcal{A}_{R,0}中的元素要求，所以扩充后的代数结构为AR=AR,0?AU\\athcal{A}_{R}=\\athcal{A}_{R,0}\\otis\\athcal{A}_{U}.作用的空间为htFd?L2(R)\\athcal{h}_{tFd}\\otisL^{2}(R).此时的代数依然是typeIII\\athr{III}的，但是因为它具有了一个非平庸的ter，因此不再是一个factor。一个代数是factor的定义是它只有平庸（为常数）的ter。
有趣的事情发生下1\/N1\/N阶，此时根据对易关系
[hR′\/N,a]=(?i\/N)?ta[h_{R}'\/N,a]=(-i\/N)\\partial_{t}a，此时因为考虑o(1\/N)o(1\/N)的修正，所以哈密顿量不能简单的认同为U，而是也要考虑修正，好在此时的修正可以很容易的获得
1NhR′=U+1βNh^\\frac{1}{N}h_{R}'=U+\\frac{1}{\\betaN}\\hat{h}
其中h^\\hat{h}是odurhailtonian，它的定义如下
h^=∫SdΣνVμtμν\\hat{h}=\\t_{S}d\\Siga^{u}V^{\\u}t_{\\uu}
它具有简单的边界对偶，因此也可以作为边界上的算符。
因此考虑原来的算符集合，加入U+h^\/βNU+\\hat{h}\/\\betaN算符之后的修正，此时因为这个算符与原算符AR,0\\athcal{A}_{R,0}不再对易，因此不会形成一个直积的结构,实际上U+h^\/βNU+\\hat{h}\/\\betaN产生的是一个外自同态（outerautoorphis)的结构，所以实际上代数为AR=Ar,0?AU+h^\/βN\\athcal{A}_{R}=\\athcal{A}_{r,0}\\rtis\\athcal{A}_{U+\\hat{h}\/\\betaN}.
外自同态(outerautoorphis)的定义如下：
考虑一个h\\athcal{h}上的算符t，如果?a∈A,s∈R\\foralla\\\\athcal{A},\\quads\\R,都有
eitsae?itS∈Ae^{its}ae^{-itS}\\\\athcal{A}
再考虑一个扩充的希尔伯特空间h?L2(R)\\athcal{h}\\otisL^{2}(R),此时有一个更大的代数A?R\\athcal{A}\\rtisR，它的生成元为a?1,eist?eisxa\\otis1,e^{ist}\\otise^{isx}或者是aeist?eisxae^{ist}\\otise^{isx}